L'Equation de Schrodinger et ses Applications
Ce chapitre est composé de deux parties:
- dans la première partie, nous vérifions l'équation de Schrodinger en utilisant le paquet d'onde, l'expression classique de l'énergie et la fonction d'onde;
- dans la seconde partie, l'équation de Schrodinger est utilisée pour décrire certains cas simples rencontrés dans notre vécu quotidien.
1. Introduction
Il fallait une loi pour construire les fondements de la mécanique quantique. Fallait-t-il modifier la 2e loi de NEWTON et l'équation de D'ALEMBERT relative à la propagation des ondes ou combiner les deux ?
La loi quantique devait être générale comme ces deux précédentes lois, elle devait à elle seule remplacer ces deux lois qu'elle a supplantée et elle devait décrire le mouvement des corpuscules et des ondes pour traduire le concept de dualité « onde-particule.»
Après lecture de la thèse de Louis DE BROGLIE, SCHRÖDINGER décida de modifier l'équation d'onde de matière et à lui faire décrire les propriétés corpusculaires des ondes.
Ainsi naquit l'équation de SCHRÖDINGER en 1925 après les postulats de l'existence d'une onde associée à chaque particule et de l'expression de sa longueur d'onde. Elle est l'équation fondamentale de la physique quantique non-relativiste permettant de décrire l'évolution dans le temps d'une particule massive non relativiste et jouant le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.
Elle peut être conçue comme une équation d'onde généralisant l'approche de Louis DE BROGLIE aux particules massives non-relativistes soumises à une force dérivant d'une énergie potentielle, dont l'énergie mécanique totale est classiquement:
avec:
est l'énergie potentielle de la particule.
Comme Albert EINSTEIN l'a fait dans les quanta de Max PLANCK, l'idée de SCHRÖDINGER est complétée par Max Born qui en 1926 donna une interprétation physique correcte de la fonction d'onde dans l'équation de SCHRÖDINGER. L'équation de SCHRÖDINGER se dota ainsi d'un caractère foncièrement probabiliste. Ce qui suscita, initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert EINSTEIN, pour qui « Dieu ne joue pas aux dés ».
Ici dans ce chapitre, nous établissons l'équation de SCHRÖDINGER à partir du paquet d'onde décrivant la particule libre, de l'équation d'onde couplée à l'équation de HELMHOLTZ et de la relation classique de l'énergie totale d'une particule non relativiste.