L'Equation de Schrodinger et ses Applications

1. Introduction

Il fallait une loi pour construire les fondements de la mécanique quantique. Fallait-t-il modifier la 2e loi de NEWTON et l'équation de D'ALEMBERT relative à la propagation des ondes ou combiner les deux ?
La loi quantique devait être générale comme ces deux précédentes lois, elle devait à elle seule remplacer ces deux lois qu'elle a supplantée et elle devait décrire le mouvement des corpuscules et des ondes pour traduire le concept de dualité « onde-particule.»

Après lecture de la thèse de Louis DE BROGLIE, SCHRÖDINGER décida de modifier l'équation d'onde de matière et à lui faire décrire les propriétés corpusculaires des ondes.
Ainsi naquit l'équation de SCHRÖDINGER en 1925 après les postulats de l'existence d'une onde associée à chaque particule et de l'expression de sa longueur d'onde. Elle est l'équation fondamentale de la physique quantique non-relativiste permettant de décrire l'évolution dans le temps d'une particule massive non relativiste et jouant le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.
Elle peut être conçue comme une équation d'onde généralisant l'approche de Louis DE BROGLIE aux particules massives non-relativistes soumises à une force dérivant d'une énergie potentielle, dont l'énergie mécanique totale est classiquement:

avec:

est l'énergie potentielle de la particule.

Comme Albert EINSTEIN l'a fait dans les quanta de Max PLANCK, l'idée de SCHRÖDINGER est complétée par Max Born qui en 1926 donna une interprétation physique correcte de la fonction d'onde dans l'équation de SCHRÖDINGER. L'équation de SCHRÖDINGER se dota ainsi d'un caractère foncièrement probabiliste. Ce qui suscita, initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert EINSTEIN, pour qui « Dieu ne joue pas aux dés ».
Ici dans ce chapitre, nous établissons l'équation de SCHRÖDINGER à partir du paquet d'onde décrivant la particule libre, de l'équation d'onde couplée à l'équation de HELMHOLTZ et de la relation classique de l'énergie totale d'une particule non relativiste.

2. EQUATION DE SCHRÖDINGER A PARTIR DU PAQUET D’ONDE.

1.Paquet d'onde

A une dimension, l'équation de l'onde plane s'écrit:

a est une constante complexe.

or 

dx est un élément de longeur

donc la densité de probabilité de présence dP/dx s'écrit:

La quantité de mouvement est définie par:

La quantité de mouvement est bien déterminée. On remarque que, la densité de probabilité de présence de la particule est partout la même sur l'axe ox.

L'objet de la mécanique quantique étant de décrire le système tout en se rapprochant le plus possible de la mécanique classique, la description faite de la particule libre par la fonction d'onde ne convient pas. A la place de l'onde plane, il faut considérer le paquet d'onde pour localiser la particule matérielle.

Ce paquet d'onde est défini par:

avec:

où:

a(k) est l'amplitude de l'onde et

2. Vitesse de phase V_ø

 On appelle vitesse de phase, la vitesse de propagation au sens courant du terme, elle est notée :

3. Vitesse de groupe V_g

Lorsque le paquet d'onde évolue au cours du temps, son barycentre se déplace à la vitesse:

avec:

ainsi:

3. Etablissement de l'équation de SCHRÖDINGER à partir du paquet d'onde

Partons du paquet d'onde :

 est le vecteur d'onde;

 est le vecteur position; 

 est le vecteur quantité de mouvement;

Nous savons que:

En multipliant cette précédente équation par :

Nous obtenons ainsi:

En plus:

Le Laplacien appliqué à la fonction d'onde donne :

Nous notons:

car nous avons une particule libre.

Ainsi:

C'est l'équation de SCHRÖDINGER dépendant du temps d'une particule libre dans un état quelconque d'énergie.
Le paquet d'onde peut donc décrire le mouvement de la particule libre parce que son expression permet de retrouver l'équation de SCHRÖDINGER.

3. EQUATION DE SCHRÖDINGER A PARTIR DE L’EQUATION D’ONDE.

L'équation d'onde satisfaite par l'amplitude spatiale d'une onde monochromatique de pulsation ω fixée dans un milieu d'indice n qui est lentement variable s'écrit :

Φ(r) est la fonction d'onde spatiale de la particule.

Le nombre d'onde k et l'indice n du milieu sont reliés par la relation :

L'équation de HELMHOLTZ est alors obtenue:

La longueur d'onde dans le milieu est définie par:

L'équation de HELMHOLTZ se présente alors sous la forme :

La relation de DE BROGLIE pour une particule non-relativiste, pour laquelle la quantité de mouvement p=mV peut s'écrire:

En élevant au carré la longeur d'onde, on a:

L'énergie cinétique pour une particule non-relativiste s'écrit:

U(r) est l'énergie potentielle de la particule.

On déduit ainsi l'équation suivante :

Ainsi, on peut écrire:

Sachant que:

car:

Finalement nous obtenons:

4. EQUATION DE SCHRÖDINGER A PARTIR DE L’EXPRESSION CLASSIQUE DE l’ENERGIE.

Pour une particule libre, l'énergie mécanique classique a pour expression:

p est la quantité de mouvement, il s'écrit:

L'onde associée à cette particule a pour:

- longueur d'onde:

- énergie:

L'énergie totale devient alors:

Tout en nous basant sur l'équation de propagation des ondes, nous allons essayer de former une équation qui satisfait les valeurs de la longueur d'onde et de l'énergie.

L'équation devant avoir un terme en k² et un, en ω, la forme de l'équation doit obéir à l'écriture suivante (*):

Premire hypothèse:

L'équation (*) devient (**):

On voit que, quelques soient les valeurs de α et β, (*) et (**) ne peuvent pas être identiques. Donc, il faut penser à une autre forme de l'équation.

Deuxième hypothèse

Après calcul et regroupement des termes semblables, l'équation (*) a la forme suivante:

Nous obtenons le système d'équations suivant :

Si nous multiplions la première équation du système par A, après soustraction, nous obtenons :

Comme β≠0, on a A=±i et:

Nous avons donc les systèmes :

Les solutions retenues pour retrouver l'équation de SCHRÖDINGER sont:

et:

Ainsi nous pouvons poser pour la particule libre:

Ainsi nous pouvons poser :

L'équation de SCHRÖDINGER fut capitale pour la mécanique quantique. Son établissement n'a pas été simplement un artifice de calcul mathématique qui a donné naissance à une formule mathématique. Elle a 89 ans en 2014 et contrairement à d'autres concepts et équations, elle se porte à merveille, toujours prête à secourir et à servir la science dans son objectif de dompter la nature et de bien expliquer les choses.
La résolution de l'équation de SCHRÖDINGER a permis de mettre en évidence toutes les lois atomiques, elle a évalué dès son établissement les niveaux quantifiés d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène, car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de LYMAN, BALMER, BRACKETT, PASCHEN, etc.
Les lois auxquelles se plient les électrons dans les cristaux métalliques furent établies grâce à la résolution de l'équation de SCHRÖDINGER. Les physiciens ont simplement résolu l'équation de SCHRÖDINGER pour le mouvement des électrons dans le champ électrique périodique des ions positifs régulièrement disposés dans les nœuds du réseau cristallin du métal.
L'existence dans le noyau et dans les molécules de niveaux d'énergie a été montrée par l'équation de SCHRÖDINGER...
Dans le cas des gaz d'électrons quasi libres, la résolution de l'équation de SCHRÖDINGER donne des fonctions propres et des énergies propres de l'électron dans le cristal. C'est le même traitement que l'on fait pour les métaux nobles, alcalins, l'aluminium etc.
Dans le cadre de l'électronique, l'équation de SCHRÖDINGER est utilisée pour déterminer la position des niveaux confinés et les énergies de transitions dans un puits quantique.
Il faut cependant reconnaître que l'équation de SCHRÖDINGER a connu une évolution par rapport à sa forme initiale. Evolution exigée par le besoin d'unification de la mécanique quantique et de la relativité restreinte. Sa modification est faite par DIRAC.
Construite au départ avec une seule fonction d'onde, DIRAC en porta le nombre à quatre. Les deux premières fonctions représentent les deux sens possibles du spin de l'électron, la troisième fonction d'onde est liée à l'électron et la quatrième au positon, sosie de l'électron. DIRAC introduisait ainsi la notion de vide qui dépasse le cadre de ce cours.

5. CONSERVATION DE LA PROBABILITE

Considérons l'équation de Schrodinger (*):

Soit son expression  conjuguée s'écrit (**):

Si nous multiplions la première équation par et la deuxième par Ψ(r,t), en soustrayant les deux équations obtenues, nous avons :

Nous savons que :

Ainsi nous réécrivons l'équation sous la forme:

Nous posons :

, densité de probabilité de présence de la particule

, vecteur densité de courant de particule.

L'équation se présente alors sous la forme :

C'est l'équation de conservation de la probabilité.

6. LA FONCTION D’ONDE

A toute particule en mouvement peut être associée une onde représentée par la fonction d'onde qui dépend plus généralement des coordonnées d'espace et de temps: 

La fonction d'onde est à valeurs complexes et n'a pas par elle-même, de signification physique. Elle aide à décrire simplement l'état spatial d'une particule.

Expérimentalement, la probabilité de trouver la particule dans un élément de volume  est donnée par l'expression:

ou encore:

La densité de probabilité de présence de l’électron au point considéré est définie par:

Plus précisément, si l'on cherche à localiser expérimentalement la particule, la probabilité de la trouver à l'instant t dans un volume V est donnée par la relation :

(D) : domaine de définition de la fonction d'onde.

Propriétés de la fonction d'onde

Propriéte 1:

Les bornes d’intégration correspondent à -∞ ≤ x ≤+∞; -∞ ≤ y ≤+∞ et -∞ ≤ z ≤+∞. Ceci représente la condition de normalisation des fonctions d’onde. La fonction d’onde doit être de carré sommable.

Propriéte 2:

Si  est une fonction d'onde, λ un complexe alors  est une fonction d’onde.

Propriéte 3:

Si  et  sont deux fonctions d'onde, alors  est une fonction d’onde.

Les propriétés 2 et 3 font que les fonctions d'onde constituent un espace vectoriel L2, espace vectoriel construit sur le corps des complexes C.

7. VALEUR MOYENNE D’UNE GRANDEUR A

Soit une particule en mouvement : x est l'abscisse de sa position et x1, x2, x3, x4....xi les différentes positions que peut occuper cette particule. P1, P2, P3, P4....Pi les probabilités que la grandeur x soit x1, x2, x3, x4....xi.
La valeur moyenne est définie par :

Supposons que x peut prendre toutes les positions entre xA et xB, P(x) est la probabilité que x ait une valeur comprise entre x et x+dx :

La valeur moyenne de la grandeur x est définie par :

La fonction d'onde est normalisable si :

Donc:

Pour une grandeur quelconque A dépendant des coordonnées d'espace, la valeur moyenne a pour expression :

8. REGLE DE CORRESPONDANCE

1. Particule libre

Pour une particule libre, les expressions de l'équation de SCHRÖDINGER et de l'énergie totale s'écrivent :

On prend arbitrairement U₀ =0

Comme: 

Par identification, nous déduisons :

Pour une paricule libre dont U₀ =0, l'hamiltonien H est tel que:

2. cas général

Si la particule n'est pas libre, elle est soumise à un ensemble de forces. Soit  son énergie potentielle, l’énergie totale de la particule se présente alors sous la forme : 

Tenant compte de l'énergie potentielle dans l'équation générale de SCHRÖDINGER, nous écrivons:

Ainsi l'hamiltonien s'écrit:

9. ETAT STATIONNAIRE et Equation de SCHRÖDINGER indépendante du temps

1.  Equation aux valeurs propres

Si l'Hamiltonien H est indépendant du temps, en procédant par la méthode de séparation des variables, nous pouvons poser:

Ainsi, nous avons :

En multipliant par , nous trouvons :

L'équation de SCHRÖDINGER devient dans ce cas :

Cette équation est appelée équation aux valeurs propres de H indépendant du temps.

2.  Propriétés

E < 0, l’équation n’a de solution que pour certaines valeurs particulières de E qui

forment un spectre discret. La fonction Φ(r) associée à E du spectre s'annule à l'infini (+∞) ; la probabilité de trouver la particule à l'infini (+∞) est donc nulle. Celle-ci reste donc pratiquement localisée dans un domaine fini de l'espace. On dit que la particule se trouve dans un état lié ; c'est le cas par exemple de l'électron de l'atome d'hydrogène à l'état fondamental.

E > 0, l'équation peut être résolue pour n'importe qu'elle valeur positive de E.
On dit que les énergies forment un spectre continu. Les fonctions correspondantes à E ne s'annulent pas à l'infini (+∞), elles oscillent indéfiniment.
Leur comportement asymptotique est analogue à celui d'une onde plane. La particule ne reste donc pas localisée dans un domaine fini ; on dit qu'elle se trouve dans un état non lié ou encore dans un état de diffusion.

10. MARCHE DE POTENTIEL

1. Déscription classique

Soit la pente de hauteur h formant une marche de potentiel classique de gravitation. La différence d'énergie potentielle entre l'axe des abscisses et la partie supérieure de la marche est égale à U0 = mgh, m est la masse de la particule.

Figure 1 : Marche de potentiel classique

Faisons rouler une bille de masse m, d’énergie totale E. L’énergie potentielle est prise égale à zéro sur le plan de roulement et les frottements sont nuls.

Faisons une description classique de la particule dans les deux cas suivants :

E > U₀ et E < U₀

Solution :
Comme il y a conservation de l'énergie mécanique : E_i = E_f.
E = Ec+U₀ donc Ec = E-U₀

• Si E > U₀, Ec > 0: la particule pourra franchir la marche de potentiel
• Si E < U₀, Ec < 0, ceci est impossible. La bille rebrousse chemin. Donc impossible pour elle de gravir la pente.

2. Description quantique

2.1. Position du problème

Soit une marche réelle de potentiel

Figure 2 : Marche réelle de potentiel

C'est le cas des électrons de conduction arrivant à la surface d'un métal à l'intérieur duquel, ils se déplacent librement.
Choisissons arbitrairement une valeur nulle pour le potentiel à l'intérieur du métal. Les électrons libres ont des énergies E déterminées par la nature du métal. Elles sont inférieures à U₀ puisque les électrons sont confinés naturellement à l'intérieur de la matière. On se trouve dans le cas E < U₀.
Y aura-t-il réflexion totale des électrons sur la marche de potentiel comme pour les particules classiques ?

2.2 Détermination des fonctions d’onde

Equation de SCHRÖDINGER : 

ψ(x;t) est la fonction d’onde de la particule dans les zones (I) et (II).

L'électron est en état stationnaire, donc on peut poser:

L'équation de SCHRÖDINGER devient :

Résolvons cette équation dans les régions (I) et (II)

Région I x < 0, U(x) = 0

On obtient l'équation différentielle suivante:

La solution Φ_I(x) de cette équation différentielle est de la forme :

avec:

Remarque:

• Le premier terme du second membre représente une onde incidente qui se propage dans le sens des x croissants;
•  L'autre terme est une onde se propageant dans le sens des x négatifs ; c'est une onde réfléchie par la barrière de potentiel et elle détermine une certaine probabilité pour l'électron de revenir en arrière après avoir « rebondi » sur la marche de potentiel.

 Région II x > 0, U(x) = U₀

Cette équation devient :

La solution mathématique de cette équation est :

avec:

Si x tend vers l'infini, la fonction tend elle aussi vers l'infini. Ceci est paradoxal car la fonction d'onde devant être de carré sommable, ne doit pas tendre vers l'infini.

Pour que Φ_II(x) soit normalisable, on impose à A’ une valeur nulle.

La solution physique est alors:

Les expressions des différentes fonctions ainsi déterminées, nous déterminons à présent le flux de particules ou densité de courant de particules j(x;t) dans les deux régions caractéristiques de la marche réelle de potentiel.

 2.3 Flux de particules ou densité de courant de particules j(x,t)

Par définition, le flux de particules est donné par la relation :

Ψ (x;t) est un nombre complexe ayant pour conjugué:

Région (I):

Si nous tenons compte de la partie temporelle, la fonction d'onde s'écrit :

Son expression conjuguée est :

Nous obtenons pour jI(x,t) dans cette région :

Après simplification, nous avons :

A partir de l'expression générale de la densite de flux de particules, nous définissons:

• la densité de flux incident j_inc(x):

• la densité de flux de particules réfléchies j_refl(x):

Utilisons la continuité des fonctions d’onde et de leur dérivée première pour avoir une relation entre A et B.

 Continuité des fonctions d'onde en x=0 :

 Continuité des dérivées premières en x=0:

L'équation de continuité des fonctions d'onde, en x = 0, donne:

L'équation de continuité des dérivées premières des fonctions d'onde, en x = 0, donne:

A partir de ces deux équations précédentes qui constituent un système d'équations, nous avons:

Ce qui donne:

Comme les modules des coefficients A et B sont égaux, on trouve jI(x,t)=0.

Ceci signifie que tous les électrons rebondissent sur la marche de potentiel.
Pour E < U₀, on a une réflexion totale, comme pour la particule classique.

 Région (II):

La fonction d'onde s'écrit :

Cette fonction d'onde a pour expression conjuguée :

La densité de flux de particules devient:

Il n’y a pas de particules dans la région (II).

Remarque: Densité de probabilité dans la zone (II)

La densité de probabilité de présence dans la zone (II) s'écrit:

Nous remarquons que:

Donc, nous pouvons dire que la particule peut bien pénétrer dans la zone II. Il y a donc une foncière différence avec la mécanique classique  d’après qui, la particule ne peut pas accéder à la zone (II).

Cependant, nous remarquons que la probabilité décroit rapidement dans la région (II) quand x croit ; elle est importante seulement dans une épaisseur de l'ordre:

Nous avons ce qu’on appelle une onde évanescente illustrée par la figure ci- dessous.

Figure 3: Onde évanescente.

La contradiction entre la valeur entre  est due au fait que nous avons cherché des solutions stationnaires de l'équation de SCHRÖDINGER.

2.4 Coefficient de Réflexion et de Transmission

2.4.1. Coefficient de Réflexion (R)

Nous définissons le coefficient de réflexion R par:

Nous savons que:

Donc, R = 1.

2.4.2. Coefficient de Transmission T

Il est définit par:

Nous obtenons T = 0.
Nous vérifions R+T = 1.

11. PUITS DE POTENTIEL

Le puits de potentiel quantique de profondeur infinie a la forme suivante :

Figure : Puits de potentiel

L'équation de SCHRÖDINGER dans la zone comprise entre –a et +a où U(x) = 0, se présente sous la forme:

Sa solution a pour forme générale :

avec:

Comme la particule n’occupe pas les positions x= a et x= -a, nous pouvons poser:

En remplaçant et après calcul, nous trouvons:

n étant un entier naturel qui ne prend pas la valeur nulle (n = 0 est exclu par la relation d'incertitude de HEISENBERG); 

α est une fonction de n

Ce qui donne pour l'énergie:

Tenant compte du fait que L= 2a est la largeur du puits de potentiel de profondeur infinie et m est la masse de la particule, nous trouvons:

• lorsque n est paire:

• lorsque n est impaire:

12. BARRIERE DE POTENTIEL CARRE

La figure ci-dessous représente la forme d'une barrière de potentiel carré :

 Figure : Barrière de potentiel carré

1. Résolution de l'équation de SCHRÖDINGER

L'équation de SCHRÖDINGER et les fonctions d'onde s'écrivent dans les trois régions respectivement comme indiqué ci-dessous. Les coefficients k et β ont pour valeur :

Les fonctions d'onde dans les différentes zones s'écrivent globalement :

Dans le zone (I), nous avons :

La zone (III) est le siège de l'onde transmise présentée sous la forme suivante:

2. Calcul du coefficient de transmission

• La continuité des fonctions d'onde donne les équations (*) et (**) ci-dessous:

et

• La continuité des fonctions d'onde donne les équations (***) et (****) ci-dessou:

et

En sommant les équations (*) et (***), membre à membre, nous avons (5*):

La somme des équations (**) et (****) donne :

La différence entre (**) et (****) donne:

L'équation (5*) s'écrit alors:

En introduisant les sh(βa) et ch(βa), nous avons: