EXPERIENCE DE STERN ET GERLACH

1. Calcul du courant dû au mouvement de l’électron - moment cinétique

1.1 Calcul du courant 

L'électron de l'atome d'hydrogène se trouve dans une orbite circulaire stationnaire.

Figure 1 : Electron en mouvement sur une orbite circulaire.

Comme V= rω, le courant i devient en remplaçant ω par sa valeur :

i < 0 parce que son sens de parcours est contraire au sens positif arbitraire choisi.

1.2 Calcul du moment cinétique

En appliquant la définition du moment cinétique et après avoir développé, on obtient:

1.3 Moment magnétique.

Le courant parcourant la spire est associé à un moment magnétique M=iS. Tenant compte de la surface de la spire, nous avons:

Lorsque nous remplaçons i par sa valeur, le moment admet pour expression :

Le vecteur moment magnétique se présente alors :

Figure 2:Représentation des moments cinétique et magnétique

Les moments cinétique et orbital ont même direction mais de sens contraire. Ces deux vecteurs sont donc colinéaires :

Le rapport  est appelé rapport gyromagnétique du moment orbital de l'électron. Il traduit une propriété géométrique tout à fait générale du champ magnétique.

1.3 Précession de LARMOR

Imaginons l'atome d'hydrogène dans un champ magnétique. L'orbite circulaire de l'électron, considérée comme une spire, est soumise à ce champ magnétique. D'après le théorème de MAXWELL, le travail dw des forces électromagnétiques qui s'exercent sur la spire au cours d'un déplacement quelconque est :

S = surface de la spire;

: vecteur normal;

Φ: flux magnétique.

1.3.1 Si on suppose que 

- Au cour d'une translation, dw = 0

- S'il s'agit d'une rotation dθ :

et

Vectoriellement nous avons :

L'ensemble des forces électromagnétiques est alors équivalent à un couple de moment . Ce couple de moment est appelé:

1.3.2 champ magnétique est non uniforme, fonction de z et orienté suivant le vecteur unitaire de l'axe (0z).

Pour une translation dz parallèle au champ magnétique, nous trouvons:

L’expression de dw devient quand nous exprimons dB en fonction de dz :

dw s'écrit en fonction de la résultante des forces électromagnétiques:

avec:

où M_z s'écrit:

1.3.3 Précession de LARMOR

Un atome de moment cinétique dans un champ magnétique uniforme est soumis à un couple de force magnétique.

Le théorème du moment cinétique donne:

Dans le système de coordonnées cartésiennes, nous avons les équations suivantes:

Cette équation devient:

Par identification, nous avons:

Lx, Ly et Lz  sont les trois composantes du moment cinétique et w la fréquence gyromagnétique.

Du système d'équation précédent, nous tirons:

Cette équation donne:

Une solution de cette équation s'écrit:

Graphiquement, nous tirons cette réprésentation:

Figure 3: Précession de LARMOR

 

Conclusion: Le mouvement consiste donc en une rotation ou précession du vecteur moment cinétique autour de l'axe Oz portant le champ magnétique.