L'Equation de Schrodinger et ses Applications: MARCHE DE POTENTIEL

10. MARCHE DE POTENTIEL

1. Déscription classique

Soit la pente de hauteur h formant une marche de potentiel classique de gravitation. La différence d'énergie potentielle entre l'axe des abscisses et la partie supérieure de la marche est égale à U0 = mgh, m est la masse de la particule.

Figure 1 : Marche de potentiel classique

Faisons rouler une bille de masse m, d’énergie totale E. L’énergie potentielle est prise égale à zéro sur le plan de roulement et les frottements sont nuls.

Faisons une description classique de la particule dans les deux cas suivants :

E > U₀ et E < U₀

Solution :
Comme il y a conservation de l'énergie mécanique : E_i = E_f.
E = Ec+U₀ donc Ec = E-U₀

Si E > U₀, Ec > 0: la particule pourra franchir la marche de potentiel
Si E < U₀, Ec < 0, ceci est impossible. La bille rebrousse chemin. Donc impossible pour elle de gravir la pente.

2. Description quantique

2.1. Position du problème

Soit une marche réelle de potentiel

Figure 2 : Marche réelle de potentiel

C'est le cas des électrons de conduction arrivant à la surface d'un métal à l'intérieur duquel, ils se déplacent librement.
Choisissons arbitrairement une valeur nulle pour le potentiel à l'intérieur du métal. Les électrons libres ont des énergies E déterminées par la nature du métal. Elles sont inférieures à U₀ puisque les électrons sont confinés naturellement à l'intérieur de la matière. On se trouve dans le cas E < U₀.
Y aura-t-il réflexion totale des électrons sur la marche de potentiel comme pour les particules classiques ?

2.2 Détermination des fonctions d’onde

Equation de SCHRÖDINGER :

ψ(x;t) est la fonction d’onde de la particule dans les zones (I) et (II).

L'électron est en état stationnaire, donc on peut poser:

L'équation de SCHRÖDINGER devient :

Résolvons cette équation dans les régions (I) et (II)

Région I x < 0, U(x) = 0

On obtient l'équation différentielle suivante:

La solution Φ_I(x) de cette équation différentielle est de la forme :

avec:

Remarque:

Le premier terme du second membre représente une onde incidente qui se propage dans le sens des x croissants;
L'autre terme est une onde se propageant dans le sens des x négatifs ; c'est une onde réfléchie par la barrière de potentiel et elle détermine une certaine probabilité pour l'électron de revenir en arrière après avoir « rebondi » sur la marche de potentiel.

Région II x > 0, U(x) = U₀

Cette équation devient :

La solution mathématique de cette équation est :

avec:

Si x tend vers l'infini, la fonction tend elle aussi vers l'infini. Ceci est paradoxal car la fonction d'onde devant être de carré sommable, ne doit pas tendre vers l'infini.

Pour que Φ_II(x) soit normalisable, on impose à A’ une valeur nulle.

La solution physique est alors:

Les expressions des différentes fonctions ainsi déterminées, nous déterminons à présent le flux de particules ou densité de courant de particules j(x;t) dans les deux régions caractéristiques de la marche réelle de potentiel.

2.3 Flux de particules ou densité de courant de particules j(x,t)

Par définition, le flux de particules est donné par la relation :

Ψ (x;t) est un nombre complexe ayant pour conjugué:

Région (I):

Si nous tenons compte de la partie temporelle, la fonction d'onde s'écrit :

Son expression conjuguée est :

Nous obtenons pour jI(x,t) dans cette région :

Après simplification, nous avons :

A partir de l'expression générale de la densite de flux de particules, nous définissons:

la densité de flux incident j_inc(x):

la densité de flux de particules réfléchies j_refl(x):

Utilisons la continuité des fonctions d’onde et de leur dérivée première pour avoir une relation entre A et B.

 Continuité des fonctions d'onde en x=0 :

 Continuité des dérivées premières en x=0:

L'équation de continuité des fonctions d'onde, en x = 0, donne:

L'équation de continuité des dérivées premières des fonctions d'onde, en x = 0, donne:

A partir de ces deux équations précédentes qui constituent un système d'équations, nous avons:

Ce qui donne:

Comme les modules des coefficients A et B sont égaux, on trouve jI(x,t)=0.

Ceci signifie que tous les électrons rebondissent sur la marche de potentiel.
Pour E < U₀, on a une réflexion totale, comme pour la particule classique.

Région (II):

La fonction d'onde s'écrit :

Cette fonction d'onde a pour expression conjuguée :

La densité de flux de particules devient:

Il n’y a pas de particules dans la région (II).

Remarque: Densité de probabilité dans la zone (II)

La densité de probabilité de présence dans la zone (II) s'écrit:

Nous remarquons que:

Donc, nous pouvons dire que la particule peut bien pénétrer dans la zone II. Il y a donc une foncière différence avec la mécanique classique d’après qui, la particule ne peut pas accéder à la zone (II).

Cependant, nous remarquons que la probabilité décroit rapidement dans la région (II) quand x croit ; elle est importante seulement dans une épaisseur de l'ordre: