L'Equation de Schrodinger et ses Applications

Pour une particule libre, l'énergie mécanique classique a pour expression:

p est la quantité de mouvement, il s'écrit:

L'onde associée à cette particule a pour:

- longueur d'onde:

- énergie:

L'énergie totale devient alors:

Tout en nous basant sur l'équation de propagation des ondes, nous allons essayer de former une équation qui satisfait les valeurs de la longueur d'onde et de l'énergie.

L'équation devant avoir un terme en k² et un, en ω, la forme de l'équation doit obéir à l'écriture suivante (*):

 

Premire hypothèse:

L'équation (*) devient (**):

On voit que, quelques soient les valeurs de α et β, (*) et (**) ne peuvent pas être identiques. Donc, il faut penser à une autre forme de l'équation.

Deuxième hypothèse

Après calcul et regroupement des termes semblables, l'équation (*) a la forme suivante:

Nous obtenons le système d'équations suivant :

Si nous multiplions la première équation du système par A, après soustraction, nous obtenons :

Comme β≠0, on a A=±i et:

Nous avons donc les systèmes :

Les solutions retenues pour retrouver l'équation de SCHRÖDINGER sont:

et:

Ainsi nous pouvons poser pour la particule libre:

Ainsi nous pouvons poser :

L'équation de SCHRÖDINGER fut capitale pour la mécanique quantique. Son établissement n'a pas été simplement un artifice de calcul mathématique qui a donné naissance à une formule mathématique. Elle a 89 ans en 2014 et contrairement à d'autres concepts et équations, elle se porte à merveille, toujours prête à secourir et à servir la science dans son objectif de dompter la nature et de bien expliquer les choses.
La résolution de l'équation de SCHRÖDINGER a permis de mettre en évidence toutes les lois atomiques, elle a évalué dès son établissement les niveaux quantifiés d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène, car elle permit d'expliquer les raies d'émission de l'hydrogène : séries de LYMAN, BALMER, BRACKETT, PASCHEN, etc.
Les lois auxquelles se plient les électrons dans les cristaux métalliques furent établies grâce à la résolution de l'équation de SCHRÖDINGER. Les physiciens ont simplement résolu l'équation de SCHRÖDINGER pour le mouvement des électrons dans le champ électrique périodique des ions positifs régulièrement disposés dans les nœuds du réseau cristallin du métal.
L'existence dans le noyau et dans les molécules de niveaux d'énergie a été montrée par l'équation de SCHRÖDINGER...
Dans le cas des gaz d'électrons quasi libres, la résolution de l'équation de SCHRÖDINGER donne des fonctions propres et des énergies propres de l'électron dans le cristal. C'est le même traitement que l'on fait pour les métaux nobles, alcalins, l'aluminium etc.
Dans le cadre de l'électronique, l'équation de SCHRÖDINGER est utilisée pour déterminer la position des niveaux confinés et les énergies de transitions dans un puits quantique.
Il faut cependant reconnaître que l'équation de SCHRÖDINGER a connu une évolution par rapport à sa forme initiale. Evolution exigée par le besoin d'unification de la mécanique quantique et de la relativité restreinte. Sa modification est faite par DIRAC.
Construite au départ avec une seule fonction d'onde, DIRAC en porta le nombre à quatre. Les deux premières fonctions représentent les deux sens possibles du spin de l'électron, la troisième fonction d'onde est liée à l'électron et la quatrième au positon, sosie de l'électron. DIRAC introduisait ainsi la notion de vide qui dépasse le cadre de ce cours.