L'Equation de Schrodinger et ses Applications
Ce chapitre est composé de deux parties:
- dans la première partie, nous vérifions l'équation de Schrodinger en utilisant le paquet d'onde, l'expression classique de l'énergie et la fonction d'onde;
- dans la seconde partie, l'équation de Schrodinger est utilisée pour décrire certains cas simples rencontrés dans notre vécu quotidien.
3. EQUATION DE SCHRÖDINGER A PARTIR DE L’EQUATION D’ONDE.
L'équation d'onde satisfaite par l'amplitude spatiale d'une onde monochromatique de pulsation ω fixée dans un milieu d'indice n qui est lentement variable s'écrit :
Φ(r) est la fonction d'onde spatiale de la particule.
Le nombre d'onde k et l'indice n du milieu sont reliés par la relation :
L'équation de HELMHOLTZ est alors obtenue:
La longueur d'onde dans le milieu est définie par:
L'équation de HELMHOLTZ se présente alors sous la forme :
La relation de DE BROGLIE pour une particule non-relativiste, pour laquelle la quantité de mouvement p=mV peut s'écrire:
En élevant au carré la longeur d'onde, on a:
L'énergie cinétique pour une particule non-relativiste s'écrit:
U(r) est l'énergie potentielle de la particule.
On déduit ainsi l'équation suivante :
Ainsi, on peut écrire:
Sachant que:
car:
Finalement nous obtenons:
