L'Equation de Schrodinger et ses Applications

1.Paquet d'onde

A une dimension, l'équation de l'onde plane s'écrit:

a est une constante complexe.

or 

dx est un élément de longeur

donc la densité de probabilité de présence dP/dx s'écrit:

La quantité de mouvement est définie par:

La quantité de mouvement est bien déterminée. On remarque que, la densité de probabilité de présence de la particule est partout la même sur l'axe ox.

L'objet de la mécanique quantique étant de décrire le système tout en se rapprochant le plus possible de la mécanique classique, la description faite de la particule libre par la fonction d'onde ne convient pas. A la place de l'onde plane, il faut considérer le paquet d'onde pour localiser la particule matérielle.

Ce paquet d'onde est défini par:

avec:

où:

a(k) est l'amplitude de l'onde et

2. Vitesse de phase V_ø

 On appelle vitesse de phase, la vitesse de propagation au sens courant du terme, elle est notée :

3. Vitesse de groupe V_g

Lorsque le paquet d'onde évolue au cours du temps, son barycentre se déplace à la vitesse:

avec:

ainsi:

3. Etablissement de l'équation de SCHRÖDINGER à partir du paquet d'onde

Partons du paquet d'onde :

 est le vecteur d'onde;

 est le vecteur position; 

 est le vecteur quantité de mouvement;

Nous savons que:

En multipliant cette précédente équation par :

Nous obtenons ainsi:

En plus:

Le Laplacien appliqué à la fonction d'onde donne :

Nous notons:

car nous avons une particule libre.

Ainsi:

C'est l'équation de SCHRÖDINGER dépendant du temps d'une particule libre dans un état quelconque d'énergie.
Le paquet d'onde peut donc décrire le mouvement de la particule libre parce que son expression permet de retrouver l'équation de SCHRÖDINGER.