cours sur les lois du corps noir

1. Le corps noir

1.1 RAYONNEMENT DU CORPS NOIR

1.1.1 DEFINITION

Un corps noir est un corps capable d'absorber toute la lumière qu'il reçoit pour la réémettre dans une gamme de longueur d'onde différente de celle reçue (pas de réflexion). Il absorbe et émet donc continuellement de l'énergie sous forme de radiation électromagnétique.

Un corps noir est défini par l'équilibre interne entre sa matière et son rayonnement.

Exemple de corps noir : le velours, le soleil, les étoiles....

A l'équilibre, un corps noir est à une température T constante car les taux d'émission et d'absorption sont égaux. Le rayonnement émis est caractérisé par une distribution spectrale en énergie u_ν. Cette fonction ne dépend que de la température T du corps et de la fréquence ν du rayonnement. En particulier, elle ne dépend pas de la forme du corps, ni de la nature du milieu. On la notera u(ν,T).

1.1.2 Corps noir dans la pratique:

Pour réaliser un corps noir dans la pratique, on perce un petit trou dans une enceinte opaque isotherme. Le trou ne doit pas perturber le rayonnement.

 Le récepteur reçoit pendant l’intervalle de temps dt dans la bande de fréquence [ν,ν+dν] l'énergie dE.

La densité spectrale d'énergie d'une cavité à rayonnement isotrope est définie par:

1.1.2. Relation entre u(ν,T) et I(ν,T) et courbes expérimentales de la densité spectrale d'énergie

Si V est le volume de l’enceinte, on peut écrire :

                       (1)

I(ν,T) est l’intensité, la luminance monochromatique sortant par le trou. C’est la Puissance transportée par unité spectrale, par unité d'angle solide, et par unité d'élément de surface.

Cette relation suppose que mesurer l’intensité I(ν,T) et
déduire la densité spectrale d’énergie u(ν,T).

Si on suppose que le rayonnement électromagnétique est homogène et isotrope à l’intérieur de la cavité, l’énergie qui sort pendant l’intervalle de temps dt dans la direction θ, est contenue dans un cylindre de base dS.cosθ de hauteur c.dt et nous avons:

                                                  (2)

 En combinant les équations (1) et (2), nous avons la relation suivante:

Dans la pratique, la mesure expérimentale de I(ν,T) est d'abord effectuée. De cette mesure, celle de u(ν,T) est déduite.

Les allures I(ν,T) et de u(λ,T) sont données aux figures 2.a et 2.b respectivement.

 Figure 2-a : Loi de répartition de la densité spectrale U  en fonction de la fréquence  d’une unité de volume de la cavité

Figure 2-b : Loi de répartition de la densité spectrale U  en fonction de la longueur d’onde d’une unité de volume de la cavité

La figure 2.a montre que le pouvoir rayonnant du corps noir ou radiance est proportionnel à la puissance quatrième de sa température absolue:

 

De la figure 2.b, la loi de déplacement de Wien est déduite. Elle dit que lorsqu’on élève      progressivement la température absolue d’un corps noir, la longueurd’onde correspondant au maximum d’intensité de la lumière émise par ce  corps doit diminuer progressivement en se déplaçant vers le domaine violet du spectre. Mathématiquement, elle se présente:

λ_max est la longueur d'onde correspondant à la densité maximale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. APPROCHES DE LA DETERMINATION DE LA DENSITE SPECTRALE D’ENERGIE

2.1 Approche de Rayleigh et Jeans

Il était impossible à la théorie classique à la fin du 19e siècle de faire une interprétation des distributions expérimentales

A l'époque, les travaux les plus connus étaient ceux de Rayleigh et Jeans. Ils se servent des relations de l'électromagnétisme classique et une méthode de physique statistique, leur approche repose sur le résultat suivant (valable en mécanique classique):  le champ électromagnétique dans une cavité est équivalent à un ensemble dénombrable d'oscillateurs indépendants, l'énergie du champ électromagnétique étant la somme des énergies des oscillateurs. Pour calculer u (ν, T), ils adoptèrent la démarche suivante :

Première étape : Dans l’intervalle de fréquence [ν,ν+dν], le nombre de modes propre d'oscillations par unité de volume dans la cavité est:

Deuxième étape : L’énergie E du rayonnement peut prendre n’importe quelle valeur comprise dans l’intervalle dans un mode propre d’oscillation. Soit E une valeur particulière de l’énergie, la probabilité du rayonnement d’avoir une telle valeur est:

C est une constante différente de la vitesse c de la lumière,

k est la constante de Boltzmann,

T (°K) est la température de la cavité,

La valeur moyenne de l'énergie est définie par la relation :

Après calcul, on a comme résultat:

Troisième étape 

La densité spectrale d'énergie est donnée par l'expression:

Le calcul donne:

Le calul intégral de 0 à l'infini donne:

Le calul intégrale donne une valeur infinie. Ce qui est contraire à l'observation expériementale qui prévoit une valeur finie. Cette contradiction invalide la démarche de Rayleigh et Jean dans la tentative d'unification des lois de Boltamann et Wien. Leur hypothèse laissera la place à celle Max Planck.

2.2 Approche de Max Planck

Pour obtenir un calcul en accord avec les courbes expérimentales, Max PLANCK conserve la première et la dernière étape de la démarche de RAYLEIGH et JEANS. Cependant, il suppose que les seules valeurs possibles de l'énergie E de chacun des oscillateurs, sont données par l'expression E=nε, ε=hν.

n est un entier naturel, h est la constante de PLANCK, ν est la fréquence du rayonnement.

En considérant cette hypothèse de quantification de l'énergie (quantité des discrètes) des oscillateurs, la valeur moyenne de l'énergie devient:

où:

En tenant de la nature des suites, on a trouve la valeur moyenne de l'énergie sous la forme suivante:

En considérant la troisième étape de Rayleigh et Jeans, on trouve:

- la densité spectrale d'énergie est une quantité positive;

- la densité spectrale d'énergie tend vers zéro lorsque la fréquence tend vers zéro;

- la densité spectrale d'énergie tend vers l'infini lorsque la fréquence tend vers l'infini.

Ces hypothèses permettent, théorique l'existence d'un maximum et elles font que le résultat de Max Planck s'accorde bien avec l'expérience.

Pour en arriver là Planck suppose que:

• l'énergie du rayonnement était de nature quantique,
• les échanges d'énergie entre la matière et le rayonnement ne portent.