L'Equation de Schrodinger et ses Applications

9. ETAT STATIONNAIRE et Equation de SCHRÖDINGER indépendante du temps

1.  Equation aux valeurs propres

Si l'Hamiltonien H est indépendant du temps, en procédant par la méthode de séparation des variables, nous pouvons poser:

Ainsi, nous avons :

En multipliant par , nous trouvons :

L'équation de SCHRÖDINGER devient dans ce cas :

Cette équation est appelée équation aux valeurs propres de H indépendant du temps.

2.  Propriétés

E < 0, l’équation n’a de solution que pour certaines valeurs particulières de E qui

forment un spectre discret. La fonction Φ(r) associée à E du spectre s'annule à l'infini (+∞) ; la probabilité de trouver la particule à l'infini (+∞) est donc nulle. Celle-ci reste donc pratiquement localisée dans un domaine fini de l'espace. On dit que la particule se trouve dans un état lié ; c'est le cas par exemple de l'électron de l'atome d'hydrogène à l'état fondamental.

E > 0, l'équation peut être résolue pour n'importe qu'elle valeur positive de E.
On dit que les énergies forment un spectre continu. Les fonctions correspondantes à E ne s'annulent pas à l'infini (+∞), elles oscillent indéfiniment.
Leur comportement asymptotique est analogue à celui d'une onde plane. La particule ne reste donc pas localisée dans un domaine fini ; on dit qu'elle se trouve dans un état non lié ou encore dans un état de diffusion.